这是一个纯组合意义解法。
考虑已经插入了一些 $1\times2$ 的竖长方形，然后方案数就只和未放置的列数 $x$，空列组成的连通块数 $y$ 有关。
每个空连通块至少需要再填两个长方形，不妨假设它们已经放置，接下来还需要添加 $k-(n-x)-2y$ 个长方形。添加长方形，相当于将一个横长方形切一刀，能切的位置有 $2(x-y)$ 个。那么增加长方形的方案数就是 $\binom{2(x-y)}{k-(n-x)-2y}$，整理得 $\binom{2x-2y}{x-k+n}$。
将 $x$ 列拆成 $y$ 个块的方案数，插板法得到 $\binom{x-1}{y-1}$。
将 $y$ 个块放回到原矩形中的方案数，观察到原矩形有 $y$ 个块和 $n-x$ 个竖长方形共 $n-x+y$ 个位置，需要放 $y$ 个块且不允许块与块相邻。不妨考虑先任意布置 $y$ 个位置 $a_1,a_2,\cdots,a_y$，最终放回到 $a_1,a_2+1,\cdots,a_y+y-1$ 便满足条件。也就是 $\binom{n-x+y-(y-1)}{y}$，整理得 $\binom{n-x+1}{y}$。
$O(n^2)$ 枚举 $(x,y)$ 即可获得部分分。
注意到第一个组合数若不取零则需要满足 $2x-2y\ge x-k+n$，即 $2y\le x+k-n$，题目中的 $k$ 很小，可以直接枚举有贡献的 $(x,y)$。
方案数：
$$\sum_{x=1}^{n}\sum_{y=1}^{\min(x,\lfloor\frac{x+k-n}{2}\rfloor)}\binom{2x-2y}{x-k+n}\binom{n-x+1}{y}\binom{x-1}{y-1}$$注意 $k=n$ 时算上全部放竖长方形的 $1$ 个方案。
